x22+x2−x+14=1frac{x^2}{2} + x^2 - x + frac{1}{4} = 12x2+x2−x+41=1

32x2−x−34=0frac{3}{2}x^2 - x - frac{3}{4} = 023x2−x−43=0

6x2−4x−3=06x^2 - 4x - 3 = 06x2−4x−3=0

设M(x₁, y₁)，N(x₂, y₂)，则 x1+x2=46=23x_1 + x_2 = frac{4}{6} = frac{2}{3}x1+x2=64=32，x1x2=−36=−12x_1 x_2 = -frac{3}{6} = -frac{1}{2}x1x2=−63=−21。

∣PM∣⋅∣PN∣=(x1−xP)2+(y1−yP)2⋅(x2−xP)2+(y2−yP)2|PM| cdot |PN| = sqrt{(x_1-x_P)^2 + (y_1-y_P)^2} cdot sqrt{(x_2-x_P)^2 + (y_2-y_P)^2}∣PM∣⋅∣PN∣=(x1−xP)2+(y1−yP)2⋅(x2−xP)2+(y2−yP)2

由于点M, N在直线 y=x−12y = x - frac{1}{2}y=x−21 上，且P(1, 1/2)也在这条直线上（因为直线m过P点），所以PM和PN的表达式可以简化。

实际上，P是弦MN上的一个定点。

∣PM∣⋅∣PN∣=∣(x1−xP)(x2−xP)∣⋅(1+km2)|PM| cdot |PN| = |(x_1-x_P)(x_2-x_P)| cdot (1+k_m^2)∣PM∣⋅∣PN∣=∣(x1−xP)(x2−xP)∣⋅(1+km2)，这里 km=1k_m=1km=1。

∣PM∣⋅∣PN∣=∣x1x2−xP(x1+x2)+xP2∣⋅(1+12)|PM| cdot |PN| = |x_1x_2 - x_P(x_1+x_2) + x_P^2| cdot (1+1^2)∣PM∣⋅∣PN∣=∣x1x2−xP(x1+x2)+xP2∣⋅(1+12)

∣PM∣⋅∣PN∣=∣−12−1(23)+12∣⋅2=∣−12−23+1∣⋅2=∣−3+4−66∣⋅2=∣−16∣⋅2=13|PM| cdot |PN| = |-frac{1}{2} - 1(frac{2}{3}) + 1^2| cdot 2 = |-frac{1}{2} - frac{2}{3} + 1| cdot 2 = |-frac{3+4-6}{6}| cdot 2 = |-frac{1}{6}| cdot 2 = frac{1}{3}∣PM∣⋅∣PN∣=∣−21−1(32)+12∣⋅2=∣−21−32+1∣⋅2=∣−63+4−6∣⋅2=∣−61∣⋅2=31。

这个计算过程，秦风写得极为流畅。

接下来是计算 |PA|·|PB|。

直线l的方程为 y−12=−1(x−1)y - frac{1}{2} = -1(x - 1)y−21=−1(x−1)，即 y=−x+32y = -x + frac{3}{2}y=−x+23。

代入椭圆方程 x22+y2=1frac{x^2}{2} + y^2 = 12x2+y2=1：

x22+(−x+32)2=1frac{x^2}{2} + (-x + frac{3}{2})^2 = 12x2+(−x+23)2=1

x22+x2−3x+94=1frac{x^2}{2} + x^2 - 3x + frac{9}{4} = 12x2+x2−3x+49=1

32x2−3x+54=0frac{3}{2}x^2 - 3x + frac{5}{4} = 023x2−3x+45=0

6x2−12x+5=06x^2 - 12x + 5 = 06x2−12x+5=0

设A(x₃, y₃)，B(x₄, y₄)，则 x3+x4=126=2x_3 + x_4 = frac{12}{6} = 2x3+x4=612=2，x3x4=56x_3 x_4 = frac{5}{6}x3x4=65。

同样，P(1, 1/2)是弦AB的中点。

∣PA∣⋅∣PB∣=∣(x3−xP)(x4−xP)∣⋅(1+kl2)|PA| cdot |PB| = |(x_3-x_P)(x_4-x_P)| cdot (1+k_l^2)∣PA∣⋅∣PB∣=∣(x3−xP)(x4−xP)∣⋅(1+kl2)，这里 kl=−1k_l=-1kl=−1。

由于P是AB中点，所以 xP=x3+x42x_P = frac{x_3+x_4}{2}xP=2x3+x4，这意味着 x3−xP=−(x4−xP)x_3-x_P = -(x_4-x_P)x3−xP=−(x4−xP)。

因此，∣PA∣⋅∣PB∣=∣PA∣2=(x3−xP)2(1+kl2)|PA| cdot |PB| = |PA|^2 = (x_3-x_P)^2 (1+k_l^2)∣PA∣⋅∣PB∣=∣PA∣2=(x3−xP)2(1+kl2)。

x3,x4x_3, x_4x3,x4 是方程 $6x^2 - 12x + 5 = 0的两个根。判别式的两个根。 判别式的两个根。判别式Delta = (-12)^2 - 4 cdot 6 cdot 5 = 144 - 120 = 24 ＞ 0。。 。x_{3,4} = frac{12 pm sqrt{24}}{12} = 1 pm frac{2sqrt{6}}{12} = 1 pm frac{sqrt{6}}{6}。所以，。 所以，。所以，x_3 = 1 - frac{sqrt{6}}{6}，，，x_4 = 1 + frac{sqrt{6}}{6}(或相反，不影响结果)。(或相反，不影响结果)。(或相反，不影响结果)。|x_3-x_P| = |1 - frac{sqrt{6}}{6} - 1| = frac{sqrt{6}}{6}。。 。|PA|^2 = (frac{sqrt{6}}{6})^2 (1+(-1)^2) = frac{6}{36} cdot 2 = frac{1}{6} cdot 2 = frac{1}{3}。所以，。 所以，。所以，|PA| cdot |PB| = frac{1}{3}$。

“嗯？|PM|·|PN| = 1/3，|PA|·|PB| = 1/3？”

秦风看着草稿纸上的结果，眼中闪过一丝明悟。

“如果 |PM|·|PN| = λ |PA|·|PB| 恒成立，那么 λ = 1？”

他仔细检查了一遍自己的计算过程，每一个步骤都清晰无误。

“过目不忘”带来的不仅仅是记忆力，还有一种对细节的极致洞察力，让他很难在计算中出错。

而那7点的智力，虽然不高，但在此刻也发挥了关键作用，让他的逻辑推理能力上了一个小台阶。

“过目不忘（体验版）”剩余时间：02分15秒。

时间所剩无几！

秦风额头已经布满了汗珠，但他眼神却越来越亮。

他迅速整理思路，将整个解题过程清晰、完整地书写在另一张干净的草稿纸上。字迹虽然因为追求速度而略显潦草，但每一个步骤都条理清晰，逻辑严谨。

当他写下最后一个“综上所述，存在常数λ=1，使得等式恒成立”的结论时，脑海中的倒计时，正好跳到了“00分03秒”。

“呼——”

秦风长长地舒了一口气，整个人如同虚脱一般，靠在了椅背上。

几乎在同时，那种大脑如同超级计算机般高速运转、对一切信息过目不忘的奇异感觉，潮水般退去。

他的大脑恢复了往常的状态，甚至因为刚才的超负荷运转，还带着一丝轻微的疲惫和晕眩。

但他心中，却充满了前所未有的充实感和喜悦！

他做到了！

他竟然真的独立解决了一道连他自己都不敢想象的超级难题！

这种通过自身努力（虽然有系统辅助）攻克难关所带来的巨大成就感，是任何东西都无法比拟的！

学习，原来也可以这么爽！

就在这时，冰冷机械的系统提示音，如约而至：

叮！新手任务：独立正确解答数学难题，已完成！

任务评价：优秀（解题思路清晰，步骤完整，用时57分57秒，符合预期）。

正在结算任务奖励……

秦风的心脏不争气地加速跳动起来，眼中充满了期待。

恭喜宿主获得奖励：10点学神积分！

恭喜宿主获得奖励：“初级数学思维”（碎片1/3）！

10点学神积分！

秦风的眼睛瞬间亮了！

在之前的系统介绍中，他隐约记得，积分似乎是系统商城里的硬通货，可以用来兑换各种神奇的道具和能力！这可是实打实的好东西！

而更让他惊喜的，是那个“初级数学思维”碎片！

就在系统提示音落下的瞬间，秦风感觉到一股微弱但却异常玄妙的暖流，从自己眉心处涌入大脑。

紧接着，他脑海中关于数学的那些零散的、通过“过目不忘”强行记忆下来的知识点，仿佛被一只无形的大手轻轻拨动了一下。

许多之前只是记住但并未完全理解透彻的公式定理，此刻竟然有了一种豁然开朗的感觉！

他对刚刚解出的那道复杂函数题，也有了更深一层的感悟。

如果让他现在重新做一遍，他甚至能隐约感觉到，除了自己刚才用的那种解法外，似乎还有其他更简洁、更巧妙的思路！

这种感觉非常奇妙，就像是原本混沌一片的数学世界，突然被点亮了一盏小小的明灯，虽然光芒微弱，却足以照亮一小片区域，让他对数学的感知和理解，都提升了一个微小的层次。

“这就是‘初级数学思维’碎片的效果吗？”秦风心中震撼。

仅仅是三分之一的碎片，就有如此效果，那若是集齐了完整的“初级数学思维”，甚至是更高级的数学思维，那自己岂不是真的能成为数学之神？

系统的神奇和强大，再一次刷新了他的认知。

他低头看了看自己因为长时间用力握笔而有些发红的手指，又看了看那张写满了推演过程的草稿纸。

虽然“过目不忘”的效果已经消失，但刚才那一个小时的疯狂学习和解题过程，却深深地烙印在了他的记忆中。那些被他“吞”下去的知识，并没有完全消失，而是有一部分，在他7点智力和“初级数学思维”碎片的影响下，真正开始沉淀下来，转化为他自己的东西。

“学神黑科技系统……”秦风的眼中闪烁着前所未有的光芒。

绝望早已被一扫而空，取而代之的，是熊熊燃烧的希望和斗志！

他知道，从激活这个系统开始，他的人生，已经彻底不一样了！

学渣的逆袭之路，才刚刚开始！

而他手中这10点宝贵的学神积分，以及那神秘的“初级数学思维”碎片，就是他踏上这条逆袭之路的第一桶金！

接下来，该好好研究一下，这10点积分，能给自己带来什么样的惊喜了！

秦风的嘴角，不由自主地扬起一抹充满期待的笑容。